Método de rigidez vs método de flexibilidad para el análisis de esfuerzos en la tubería
El ampliamente utilizado software de análisis de tensión en la tubería PASS/START-PROF [1] utiliza los métodos de mecánica estructural para estructuras de vigas, ver [2], [3] y literatura similar. Se considera que el sistema de tuberías consiste en vigas rectas y curvas. Las vigas rectas son tuberías, elementos rígidos y válvulas, mientras que las vigas curvas son las curvas (dobleces o codos)
Método de
rigidez K*X=F
Tradicionalmente,
la mayoría de los programas de análisis de tensión utilizan el método de
rigidez directa K*X=F [2],
[3]
K - Matriz de rigidez del
elemento;
X - Vector de desplazamiento (incógnitas);
F - Vector de carga.
Para el sistema de 4 grados de libertad (DOF, “degrees of freedom”) será:
En el
método de rigidez, los desplazamientos X (en
lugar de las fuerzas) se toman como las cantidades desconocidas. Por este
motivo, el método también se denomina método de desplazamiento. Los
desplazamientos desconocidos X
se obtienen resolviendo ecuaciones de equilibrio (en lugar de ecuaciones de
compatibilidad) que contienen coeficientes en forma de rigideces K.
Método de
flexibilidad A*F=D
El método
de flexibilidad A*R=D [2],
[3].
A - Matriz de flexibilidad de
elementos;
R - Vector de carga
(incógnitas);
D - Vector de desplazamiento.
Para el
sistema de 4 grados de libertad (DOF, “degrees of freedom”) será:
La ventaja
del método de flexibilidad es que este método para sistemas similares a árboles
como tuberías da varias veces menos incógnitas que el método de rigidez. La
matriz es varias veces más pequeña. Y el tiempo de solución varias veces más
rápido y requieren menos memoria. La principal desventaja del método de
flexibilidad es un algoritmo muy complejo para la programación.
El método
de flexibilidad se basa en la solución de ecuaciones de equilibrio y ecuaciones
de compatibilidad. Siempre habrá tantas ecuaciones de compatibilidad como
redundantes. Se llama método de flexibilidad porque las flexibilidades A
aparecen en las ecuaciones de compatibilidad. Otro nombre para el método es el
método de fuerza porque las fuerzas F son las cantidades desconocidas en las
ecuaciones de compatibilidad.
Método
combinado de rigidez y flexibilidad utilizado en START-PROF
PASS/START-PROF
utiliza el método combinado de flexibilidad y rigidez [1]. Utiliza la matriz
combinada y las incógnitas combinadas (desplazamientos en juntas de expansión y
fuerzas de reacción en soportes). El método utiliza las ecuaciones:
K - matriz de rigidez del
elemento (reacciones causadas por desplazamientos unitarios, aplicados a lo
largo de la dirección de desplazamientos desconocidos x);
B - matriz de desplazamientos
de fuerzas unitarias, aplicada a lo largo de la dirección de desplazamientos desconocidos
x;
R - vector
de fuerzas desconocidas;
X - vector de desplazamientos
desconocidos en juntas de expansión y puntos de corte del sistema de
tuberías;
D - vector de desplazamientos
aplicados;
F - vector de fuerzas
aplicadas.
Por ejemplo
tenemos un marco de 4 nodos (a) con anclajes en los nodos 1 y 4, bisagra en el
nodo 2 y fuerza aplicada en el nodo 3
El sistema primario para el método de flexibilidad (b) se puede obtener quitando el ancla 4 y aplicando las cargas desconocidas r1, r2, r2. Será un sistema de consola desde el ancla 1. El nodo 2 asumido como rígido.
El sistema
primario para el método de rigidez (c) será un sistema con la bisagra en el
nodo c y desplazamiento desconocido x4.
El sistema
de ecuación para resolver este problema será:
Este
método fue elegido en 1965 cuando se creó
PASS/START-PROF,
debido a su menor uso de memoria y el tiempo de solución más rápido para los
sistemas de tuberías típicos similares a árboles. Las máquinas modernas permiten
lograr los resultados de los complejos sistemas de tuberías no lineales muy
rápidamente.
Por ejemplo,
tenemos el siguiente sistema:
En el
método clásico de rigidez las condiciones límite son cero desplazamientos x en
los nodos, donde colocamos los soportes. Si resolvemos el sistema de tuberías
no lineal asumiendo alguna tolerancia predefinida, los desplazamientos en los
puntos de soporte serán siempre ceros.
En el
método de flexibilidad después de la solución matricial obtenemos las fuerzas
desconocidas r en vez de los desplazamientos. Si resolvemos el sistema de
tuberías no lineales asumiendo alguna tolerancia predefinida, las fuerzas de
reacción de soporte r se obtendrán con cierta tolerancia. Después de la
solución, PASS/START-PROF calcula los desplazamientos en todos los
nodos de cada consola, utilizando las fuerzas de reacción r. Los
desplazamientos se obtendrán con cierta tolerancia también. Esto puede provocar
que algunos soportes rígidos tengan desplazamientos distintos de cero, por
ejemplo 0.5 mm. No es un problema, es sólo una tolerancia de solución. Suele
suceder en sistemas que tienen unas consolas muy-muy largas. No necesita ninguna acción del usuario.
Pero si
desea aumentar la precisión de los desplazamientos, agregue los objetos marcador
especial (M). Rompe, divide la consola larga en varias partes. 6 fuerzas de
reacción desconocidas adicionales x se añaden en este punto y las consolas se
vuelven más cortas.
Hoy en día, en las máquinas modernas, los principales beneficios del
método de flexibilidad es una velocidad de análisis varias veces más rápida de
cálculos no lineales de sistemas complejos y un bajo uso de memoria:
Referencias
- Magalif V., Yakobson L.
Pipe stress analysis on computers (Original PASS/START-PROF authors). Moscú, 1969
- Weaver W., Gere J. Matrix Analysis of Framed Structures
- Nagarajan P.
Métodos de análisis estructural
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